hihoCoder 1043-完全背包

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#1043 : 完全背包
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描述
且说之前的故事里,小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券!而现在,终于到了小Ho领取奖励的时刻了!

等等,这段故事为何似曾相识?这就要从平行宇宙理论说起了………总而言之,在另一个宇宙中,小Ho面临的问题发生了细微的变化!

小Ho现在手上有M张奖券,而奖品区有N种奖品,分别标号为1到N,其中第i种奖品需要need(i)张奖券进行兑换,并且可以兑换无数次,为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费,小Ho给每件奖品都评了分,其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道,凭借他手上的这些奖券,可以换到哪些奖品,使得这些奖品的喜好值之和能够最大。

提示一: 切,不就是0~1变成了0~K么

提示二:强迫症患者总是会将状态转移方程优化一遍又一遍

提示三:同样不要忘了优化空间哦!

输入
每个测试点(输入文件)有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的种数,以及小Ho手中的奖券数。

接下来的n行描述每一行描述一种奖品,其中第i行为两个整数need(i)和value(i),意义如前文所述。

测试数据保证

对于100%的数据,N的值不超过500,M的值不超过10^5

对于100%的数据,need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3

输出
对于每组测试数据,输出一个整数Ans,表示小Ho可以获得的总喜好值。

样例输入
5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897

样例输出
5940


这一题和之前的0-1背包很类似,只需要稍微修改一下就可以了。

我们先来复习一下之前的0-1背包。0-1背包对于一件物品,要么兑换,要么不兑换,只有两种可能。假设V[i,j]表示用j张奖券兑换前i个物品,则对于第i个物品,我们只有两种选择:1.兑换;2.不兑换。如果不兑换,则V[i,j]=V[i-1,j],也就是不要第i件物品,用j张奖券兑换前i-1个物品;如果兑换,则V[i,j]=V[i-1,j-need[i]]+value[i],也就是一定要第i件物品,所以+value[i],然后再看兑换完第i件物品后剩余的奖券兑换前i-1个物品能得到多少价值。最后就是求这两种情况的最大值。用数学公式表示就是:

V[i,j] = \begin{cases}0 & \text{if i=0 or j=0} \\V[i-1,j] & \text{if j < need[i]} \\max \{ V[i-1,j],V[i-1,j-need[i]]+value[i] \} & \text{if i>0 and j$\geq$ need[i]}\\\end{cases}

上面是0-1背包的动态规划状态转换方程,详细的代码可以参考上面的链接。对于完全背包,只需稍微修改即可。

我们首先要理解完全背包的含义,完全背包不限制物品的个数,也就是只要奖券够多,可以兑换多个同一种物品但是对于某一个物品,也只有两种情况,要么兑换,要么不兑换,不可以将某一件物品拆分成小部分,只兑换其中的0.x。这个地方容易和分数背包混淆。分数背包和0-1类似,每一种物品也只有一个,你可以完整的兑换这一个物品,也可以只兑换这个物品的一部分,但是一种物品只有一个。分数背包可以用贪心算法快速求解,可以参考《算法导论第三版》中文版P243关于0-1背包和分数背包的讨论。

理解了完全背包的含义,我们再来推导其状态转换方程。这个时候对于第i个物品,我们有多种选择:1.不兑换;2.兑换1个;3.多换多个。同样的,我们要从中选一个能使价值最大的方案。如果不兑换,和0-1背包一样,有V[i,j]=V[i-1,j];但是如果兑换,是不是得一一尝试兑换1个、2个...的所有方案呢?可以这样做,但是还有一个更巧妙的方法,我们先给出公式再解释:

V[i,j] = \begin{cases}0 & \text{if i=0 or j=0} \\V[i-1,j] & \text{if j<need[i]} \\max \{ V[i-1,j],V[i,j-need[i]]+value[i] \} & \text{if i>0 and j$\geq$ need[i]}\\\end{cases}

大家仔细对比0-1背包和完全背包的状态转换方程,只改动了一个微小的地方。对于第i个物品,我们如果兑换,则肯定要+value[i],这是剩下j-need[i]张奖券,因为第i个物品可以兑换多个,所以我们还是用j-need[i]张奖券兑换前i个物品,而不是只兑换前i-1个物品,即V[i,j]=V[i,j-need[i]]+value[i]这样的话,程序自然还会考虑选择第i个物品,也就是兑换多个第i个物品。这就是0-1背包和完全背包的重要区别。

理解了这一点,我们很快就可以写出程序了。代码如下:

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
     int n,m;
     cin>>n>>m;
     vector<int> need_vi(n),value_vi(n);
     for(int i=0;i<n;i++)
          cin>>need_vi[i]>>value_vi[i];

     vector<int> V(m+1,0);//V[j]表示有j张奖券,装前i个奖品获得的最大评分

     for(int i=0;i<n;i++)//V[j]表示有j张奖券,装前i个奖品获得的最大评分,每个奖品可以装多个
     {
          for(int j=need_vi[i];j<=m;j++)//从前往后填表,因为这是完全背包
          {
               V[j]=(V[j-need_vi[i]]+value_vi[i]>V[j])?(V[j-need_vi[i]]+value_vi[i]):V[j];
          }
     }
     cout<<V[m];
     return 0;
}

具体到写代码时,因为我们正是要利用兑换第i个物品时j=j-need[i]时的值,所以我们从左往右填(从前往后填),这样后面就能利用前面已经修改过的值了。大家可以自己画个表格填一下就知道了,同时请参考联系我之前关于0-1背包的博客。

本代码提交AC,用时148MS,内存0MB。

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