hihoCoder 1077-RMQ问题再临-线段树

hihoCoder 1077-RMQ问题再临-线段树

#1077 : RMQ问题再临-线段树
时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB

描述
上回说到:小Hi给小Ho出了这样一道问题:假设整个货架上从左到右摆放了N种商品,并且依次标号为1到N,每次小Hi都给出一段区间[L, R],小Ho要做的是选出标号在这个区间内的所有商品重量最轻的一种,并且告诉小Hi这个商品的重量。但是在这个过程中,可能会因为其他人的各种行为,对某些位置上的商品的重量产生改变(如更换了其他种类的商品)。

小Ho提出了两种非常简单的方法,但是都不能完美的解决。那么这一次,面对更大的数据规模,小Ho将如何是好呢?

提示:其实只是比ST少计算了一些区间而已

输入
每个测试点(输入文件)有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第1行为一个整数N,意义如前文所述。

每组测试数据的第2行为N个整数,分别描述每种商品的重量,其中第i个整数表示标号为i的商品的重量weight_i。

每组测试数据的第3行为一个整数Q,表示小Hi总共询问的次数与商品的重量被更改的次数之和。

每组测试数据的第N+4~N+Q+3行,每行分别描述一次操作,每行的开头均为一个属于0或1的数字,分别表示该行描述一个询问和描述一次商品的重量的更改两种情况。对于第N+i+3行,如果该行描述一个询问,则接下来为两个整数Li, Ri,表示小Hi询问的一个区间[Li, Ri];如果该行描述一次商品的重量的更改,则接下来为两个整数Pi,Wi,表示位置编号为Pi的商品的重量变更为Wi

对于100%的数据,满足N<=10^6,Q<=10^6, 1<=Li<=Ri<=N,1<=Pi<=N, 0<weight_i, Wi<=10^4。

输出
对于每组测试数据,对于每个小Hi的询问,按照在输入中出现的顺序,各输出一行,表示查询的结果:标号在区间[Li, Ri]中的所有商品中重量最轻的商品的重量。

样例输入
10
3655 5246 8991 5933 7474 7603 6098 6654 2414 884
6
0 4 9
0 2 10
1 4 7009
0 5 6
1 3 7949
1 3 1227

样例输出
2414
884
7474


这一题是hihoCoder Problem 1070:RMQ问题再临的升级版,数据量提升到10^6,但提示还是用线段树来解决。我原本以为只要把之前的数组大小改为10^6就行了,没想到这次居然给我报CE错。

第一次遇到这种错误,看了半天没明白什么意思,后来多方查找才得知可能是数组太大了,直接编译就不通过,想想看10^6的二维数组:10^6*10^6=10^12,装的是int,则总大小为4*10^12B=3725G,这明显大大超出了内存范围,而之前的10^4二维数组只有4*10^8B=381M,按理说也超出了题目的256MB,不过还是险些AC了,但是这一次就没这么好运了,所以必须优化算法!

怎样优化内存空间呢?先把我们的线段树请出来看看:

上图是线段树的一个例子,每个节点保存了区间范围以及该区间的最小值。总的区间大小是[1,10],仔细看看这个区间树的节点个数只有19个;另外再画一个[1,6]区间上的区间树,节点个数只有11个。可以不加证明的得出一个n的区间长度的线段树的节点个数为2*n-1,这远远小于n*n,所以我们只需要O(n)的空间来存储,而不是O(n^2)。

反观之前hihoCoder Problem 1070:RMQ问题再临的解法,其实没有构造一个真正的线段树,所以浪费了很多空间,那么怎样来构造一个真正的线段树呢?

我们知道常规的树形结构是用链表来实现的,每一个节点都有指向其左右孩子节点的指针,这样就可以很容易的访问孩子节点,如果用数组的结构来表示链表的结果,是不是会简单很多呢?于是我们定义如下树的节点结构:

typedef struct node//线段树节点
{
	int l;//区间左端点
	int r;//区间右端点
	int minv;//区间最小值
};

再定义一个表示树的数组node tree[2*MAX_N];很自然的tree[i]的左右孩子节点分别存储在tree[2i]和tree[2i+1],这样是不是也很容易访问孩子节点了呢。

不论是创建、查询、更新树,都是从树根开始递归往下,这个过程和之前的那个题目类似,这里就不再赘述了。完整的代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAX_N=1e6+2;
int w[MAX_N];
int n,q;
typedef struct node//线段树节点
{
	int l;//区间左端点
	int r;//区间右端点
	int minv;//区间最小值
};
node tree[2*MAX_N];

inline int get_min(int a,int b)
{
	return a<b?a:b;
}
//创建树
void build(int l,int r,int pos)
{
	tree[pos].l=l;
	tree[pos].r=r;
	if(l==r)
		tree[pos].minv=w[l];
	else
	{
		int mid=(l+r)/2;
		build(l,mid,pos*2);
		build(mid+1,r,pos*2+1);
		tree[pos].minv=get_min(tree[pos*2].minv,tree[pos*2+1].minv);
	}
}
//查询树
int query(int l,int r,int pos)
{
	if(l==tree[pos].l&&r==tree[pos].r)
		return tree[pos].minv;
	
	int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)/2;
	if(r<=mid)
		return query(l,r,pos*2);
	else if(l>mid)
		return query(l,r,pos*2+1);
	else
	{
		int left=query(l,mid,pos*2);
		int right=query(mid+1,r,pos*2+1);
		return get_min(left,right);
	}
}
//更新树
void update(int pi,int wi,int pos)
{
	if(tree[pos].l==tree[pos].r&&tree[pos].l==pi)
		tree[pos].minv=wi;
	else
	{
		int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)/2;
		if(pi<=mid)
			update(pi,wi,pos*2);
		else
			update(pi,wi,pos*2+1);

		tree[pos].minv=get_min(tree[pos*2].minv,tree[pos*2+1].minv);
	}
}
int main()
{
	//freopen("input.txt","r",stdin);
	
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);

	build(1,n,1);
	scanf("%d",&q);
	int p,l,r;
	for(int i=0;i<q;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&p,&l,&r);
		if(p==0)
			printf("%d\n",query(l,r,1));
		else
			update(l,r,1);
	}

	return 0;
}

本代码提交AC,用时697MS,内存45MB。

P.S.之前用cin、cout超时,改成scanf、printf就好了,懒得取消同步什么的,以后就打算一直用scanf、printf了。唉,从上一题到这一题,优化是无止境的啊~~

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