LeetCode Search a 2D Matrix II

LeetCode Search a 2D Matrix II

Write an efficient algorithm that searches for a value in an m x n matrix. This matrix has the following properties:

  • Integers in each row are sorted in ascending from left to right.
  • Integers in each column are sorted in ascending from top to bottom.

For example,

Consider the following matrix:

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

Given target = 5, return true.

Given target = 20, return false.


LeetCode Search a 2D Matrix基础上改动了一点点,但是难度增加不少。这一次,每行和每列都是递增的,但是这一行的行首元素和上一行的行末元素没有大小关系,这种矩阵有点像从左上角递增到右下角的一个曲面,想象一下。

一种比较笨的办法就是对每一行或者每一列二分搜索,复杂度为O(mlgn)或O(nlgm)。

参考这位大神的介绍,有很多厉害的算法,具体看原博客,这里简单给出其前两个算法的C++实现。

算法1相当于对角二分搜索,是线性复杂度的。搜索从矩阵右上角开始,遇到比当前元素大时,递增行;遇到比当前元素小时,递减列;直到找到相等元素,或者到达矩阵左下角。最坏情况是从右上角走到了左下角,复杂度为O(m+n)。

这种思路的代码如下:

class Solution {
public:
	bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
		if (matrix.size() == 0)return false;
		int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
		if (n == 0)return false;
		int i = 0, j = n - 1;
		while (i < m&&j >= 0) {
			while (i < m&&matrix[i][j] < target)++i;
			if (i >= m)return false;
			while (j >= 0 && matrix[i][j] > target)--j;
			if (j < 0)return false;
			if (matrix[i][j] == target)return true;
		}
		return false;
	}
};

本代码提交AC,用时129MS。

算法2利用了分治法的思路。每次取矩阵中心元素,把矩阵分成4个小份。如果target大于中心元素,则左上角部分可以全部舍弃掉,因为矩阵的行列都是递增的,左上角元素肯定全部小于中心元素,不必再找。此时可以递归的在剩余的3个小矩阵里查找。比如下图中心元素为9,如果要找26,则可以递归的在其右上角、左下角和右下角三个小矩阵中查找。

时间复杂度公式为T(n)=3T(n/2)+c,c为target和中心元素比较的时间。使用主方法可以算到T(n)=O(n1.58)。

分治法思路代码如下:

class Solution {
public:
	bool quadPart(vector<vector<int>>& matrix, int left, int top, int right, int bottom, int target) {
		if (left > right || top>bottom)return false;
		if (target<matrix[left][top] || target>matrix[right][bottom])return false;
		int midrow = left + (right - left) / 2, midcol = top + (bottom - top) / 2;
		if (target == matrix[midrow][midcol])return true;

		//if (target > matrix[midrow][midcol]) { // 抛弃左上角
		//	return quadPart(matrix, left, midcol + 1, midrow - 1, bottom, target) || // 右上角
		//		quadPart(matrix, midrow + 1, top, right, midcol - 1, target) || // 左下角
		//		quadPart(matrix, midrow, midcol, right, bottom, target); // 右下角
		//}
		//else {
		//	return quadPart(matrix, left, midcol + 1, midrow - 1, bottom, target) || // 右上角
		//		quadPart(matrix, midrow + 1, top, right, midcol - 1, target) || // 左下角
		//		quadPart(matrix, left, top, midrow, midcol, target); //左上角
		//}

		if (target > matrix[midrow][midcol]) { // 抛弃左上角
			return quadPart(matrix, left, midcol + 1, midrow, bottom, target) || // 右上角
				quadPart(matrix, midrow + 1, top, right, midcol, target) || // 左下角
				quadPart(matrix, midrow + 1, midcol + 1, right, bottom, target); // 右下角
		}
		else {
			return quadPart(matrix, left, midcol, midrow - 1, bottom, target) || // 右上角
				quadPart(matrix, midrow, top, right, midcol - 1, target) || // 左下角
				quadPart(matrix, left, top, midrow - 1, midcol - 1, target); //左上角
		}
	}
	bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
		if (matrix.size() == 0)return false;
		int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
		if (n == 0)return false;
		return quadPart(matrix, 0, 0, m - 1, n - 1, target);
	}
};

本代码提交AC,用时168MS。

注意代码中注释掉的部分是错误代码,因为其在右下角或者左上角搜索时可能会进入死循环。比如要在上图搜索30,当搜索到右下角深色部分的小矩阵时,中心元素是17,本该搜索更小的矩阵30,但是根据注释代码中第一个if搜索右下角的代码,新的矩阵(右下角)的左上角坐标还是17,因为其坐标是(midrow, midcol),无论递归多少次,右下角的矩阵没有变小,所以进入了死循环。

正确的方法是把涉及到中点的两条边分配到不同的小矩阵里,必须使得每个小矩阵的左上角或右下角坐标有变化。

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