LeetCode Maximum Length of Pair Chain

LeetCode Maximum Length of Pair Chain

You are given n pairs of numbers. In every pair, the first number is always smaller than the second number.

Now, we define a pair (c, d) can follow another pair (a, b) if and only if b < c. Chain of pairs can be formed in this fashion.

Given a set of pairs, find the length longest chain which can be formed. You needn't use up all the given pairs. You can select pairs in any order.

Example 1:

Input: [[1,2], [2,3], [3,4]]
Output: 2
Explanation: The longest chain is [1,2] -> [3,4]

Note:

  1. The number of given pairs will be in the range [1, 1000].

如果两个数对(a,b)和(c,d)满足b<c,则(c,d)可以跟在(a,b)的后面。给定一系列数对(s,t),问从这些数对中最多能取出多少个数对满足连续满足这种条件。

解法1,使用DP。首先对所有数对(x,y)先按x排序,x相同再按y排序。然后遍历数对,对于每个数对,有两种选择,不要或者要,对应dp[i][0]和dp[i][1],表示到i时能选出来的最多的满足条件的数对。

则dp[i][0]=max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]),因为第i个数对不选,所以肯定等于前i-1个能选出来的最大数对,也就是max(dp[i-1][0], dp[i-1][1])。

如果第i个数对选,则要往前找到一个和i不冲突的数对j,接在j的后面,所以dp[i][1]=dp[j][1]+1。

代码如下:

bool cmp(const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) {
	return p1[0] < p2[0] || (p1[0] == p2[0] && p1[1] < p2[1]);
}
class Solution {
public:
	int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {
		sort(pairs.begin(), pairs.end(), cmp);
		int n = pairs.size();
		vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2, 0));
		dp[0][0] = 0;
		dp[0][1] = 1;
		int ans = 1;
		for (int i = 1; i < n; ++i) {
			dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
			dp[i][1] = 1;
			int j = i - 1;
			while (j >= 0 && pairs[i][0] <= pairs[j][1]) {
				--j;
			}
			if (j >= 0) {
				dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][1] + 1);
			}
			ans = max(ans, dp[i][0]);
			ans = max(ans, dp[i][1]);
		}
		return ans;
	}
};

本代码提交AC,用时49MS。

我隐隐觉得这种解法有问题,就是在求dp[i][1]的时候,应该要找i前面所有和i不冲突的j,求max,即dp[i][1]=max(dp[j][1]+1)。

所以解法2是无懈可击的DP解法。设dp[i]表示以数对i结尾能得到的最长的链式数对,则初始的时候,所有dp[i]=1。然后对于第i个数对,遍历i前面所有数对j,只要i和j能够链起来,则求dp[i]=max(dp[j]+1)。时间复杂度O(n^2),代码如下:

class Solution {
public:
	int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {
		sort(pairs.begin(), pairs.end(), [](const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) {return p1[0] < p2[0] || (p1[0] == p2[0] && p1[1] < p2[1]); });

		int n = pairs.size(), ans = 1;
		vector<int> dp(n, 1);
		for (int i = 1; i < n; ++i) {
			for (int j = i - 1; j >= 0; --j) {
				if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) {
					dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
				}
			}
			ans = max(ans, dp[i]);
		}
		return ans;
	}
};

本代码提交AC,用时122MS。

解法3,首先还是对所有数对排序,然后把这题看成类似于求最长上升子序列。即设dp[k]=构成链条长度为k时最小的结束时间。那么来了一个数对之后,如果该数对的开始时间大于dp末尾的结束时间,则说明该数对可以追加到dp中,链条长度加1,dp[k+1]=该数对的结束时间。否则,如果该数对的开始时间不大于dp末尾的结束时间,则需要像LIS一样,把该数对插入到dp中,因为dp是排好序的,所以二分插入即可。

该思路请参考:https://discuss.leetcode.com/topic/96814/python-straightforward-with-explanation-n-log-n/2。比较有意思的是,正如第一个评论人所说,因为提前对数对按结束时间排序了,所以后面的数对肯定是大于等于dp末尾的数对的,所以新来的数对只可能追加到dp的末尾,不可能插入到dp的其他位置,所以就可以省略二分插入的过程。完整代码简洁如下:

class Solution {
public:
	int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {
		sort(pairs.begin(), pairs.end(), [](const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) {return p1[1] < p2[1]; });
		int ans = 0;
		for (int i = 0, j = 0; j < pairs.size(); ++j) {
			if (j == 0 || pairs[j][0] > pairs[i][1]) {
				++ans;
				i = j;
			}
		}
		return ans;
	}
};

本代码提交AC,用时45MS。

这个题可以把每个数对看成一个活动的开始和结束时间,把问题转换为从所有活动中选出尽量多的不重叠的活动,求最多的活动个数。活动选择问题可以用贪心求解,详细介绍和证明请看维基百科

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