剑指 Offer 14- I. 剪绳子 LCOF

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：

2 <= n <= 58
注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof
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给定一根长为n的绳子，剪成m段，使得m段长度的乘积最大。问最大乘积是多少。

看题解，把长度切分为3，乘积最大。需要用到算术几何平均不等式，以及求导求极值等数学知识。

完整代码如下：

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if(n <= 3) return n - 1;
        int m = n / 3;
        if(n % 3 == 0) {
            return pow(3, m);
        } else if(n % 3 == 1) {
            return pow(3, m - 1) * 4;
        } else {
            return pow(3, m) * 2;
        }
    }
};

本代码提交AC，用时0MS。

另一个通用解法是DP，假设dp[i]是长度为i，切分之后的最大乘积。则对于dp[j]，可以把[1,…,j]切分为[1,…,k]和[k+1,…,j]，因为切分之后两段的长度都小于j，所以之前已经求解过了，可直接得到乘积。题解如下： https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/shu-xue-zhi-shi-he-dong-tai-gui-hua-liang-chong-fa/ 。完整代码如下：

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            for(int j = 1; j < i; ++j) {
                dp[i] = max(dp[i], max(j, dp[j]) * max(i - j, dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

本代码提交AC，用时4MS。