LeetCode Maximum Length of Pair Chain You are given n pairs of numbers. In every pair, the first number is always smaller than the second number. Now, we define a pair (c, d) can follow another pair (a, b) if and only if b < c. Chain of pairs can be formed in this fashion. Given a set of pairs, find the length longest chain which can be formed. You needn’t use up all the given pairs. You can select pairs in any order. Example 1:

Input: [[1,2], [2,3], [3,4]]
Output: 2
Explanation: The longest chain is [1,2] -> [3,4]

Note:

1. The number of given pairs will be in the range [1, 1000].

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如果两个数对(a,b)和(c,d)满足b<c，则(c,d)可以跟在(a,b)的后面。给定一系列数对(s,t)，问从这些数对中最多能取出多少个数对满足连续满足这种条件。 解法1，使用DP。首先对所有数对(x,y)先按x排序，x相同再按y排序。然后遍历数对，对于每个数对，有两种选择，不要或者要，对应dp[i][0]和dp[i][1]，表示到i时能选出来的最多的满足条件的数对。 则dp[i][0]=max(dp[i-1][0], dp[i-1][1])，因为第i个数对不选，所以肯定等于前i-1个能选出来的最大数对，也就是max(dp[i-1][0], dp[i-1][1])。 如果第i个数对选，则要往前找到一个和i不冲突的数对j，接在j的后面，所以dp[i][1]=dp[j][1]+1。 代码如下： [cpp] bool cmp(const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) { return p1[0] < p2[0] || (p1[0] == p2[0] && p1[1] < p2[1]); } class Solution { public: int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) { sort(pairs.begin(), pairs.end(), cmp); int n = pairs.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2, 0)); dp[0][0] = 0; dp[0][1] = 1; int ans = 1; for (int i = 1; i < n; ++i) { dp[i][0] = max(dp[i – 1][0], dp[i – 1][1]); dp[i][1] = 1; int j = i – 1; while (j >= 0 && pairs[i][0] <= pairs[j][1]) { –j; } if (j >= 0) { dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][1] + 1); } ans = max(ans, dp[i][0]); ans = max(ans, dp[i][1]); } return ans; } }; [/cpp] 本代码提交AC，用时49MS。 我隐隐觉得这种解法有问题，就是在求dp[i][1]的时候，应该要找i前面所有和i不冲突的j，求max，即dp[i][1]=max(dp[j][1]+1)。 所以解法2是无懈可击的DP解法。设dp[i]表示以数对i结尾能得到的最长的链式数对，则初始的时候，所有dp[i]=1。然后对于第i个数对，遍历i前面所有数对j，只要i和j能够链起来，则求dp[i]=max(dp[j]+1)。时间复杂度$$O(n^2)$$，代码如下： [cpp] class Solution { public: int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) { sort(pairs.begin(), pairs.end(), [](const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) {return p1[0] < p2[0] || (p1[0] == p2[0] && p1[1] < p2[1]); }); int n = pairs.size(), ans = 1; vector<int> dp(n, 1); for (int i = 1; i < n; ++i) { for (int j = i – 1; j >= 0; –j) { if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) { dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } ans = max(ans, dp[i]); } return ans; } }; [/cpp] 本代码提交AC，用时122MS。 解法3，首先还是对所有数对排序，然后把这题看成类似于求最长上升子序列。即设dp[k]=构成链条长度为k时最小的结束时间。那么来了一个数对之后，如果该数对的开始时间大于dp末尾的结束时间，则说明该数对可以追加到dp中，链条长度加1，dp[k+1]=该数对的结束时间。否则，如果该数对的开始时间不大于dp末尾的结束时间，则需要像LIS一样，把该数对插入到dp中，因为dp是排好序的，所以二分插入即可。 该思路请参考：https://discuss.leetcode.com/topic/96814/python-straightforward-with-explanation-n-log-n/2。比较有意思的是，正如第一个评论人所说，因为提前对数对按结束时间排序了，所以后面的数对肯定是大于等于dp末尾的数对的，所以新来的数对只可能追加到dp的末尾，不可能插入到dp的其他位置，所以就可以省略二分插入的过程。完整代码简洁如下： [cpp] class Solution { public: int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) { sort(pairs.begin(), pairs.end(), [](const vector<int>& p1, const vector<int>& p2) {return p1[1] < p2[1]; }); int ans = 0; for (int i = 0, j = 0; j < pairs.size(); ++j) { if (j == 0 || pairs[j][0] > pairs[i][1]) { ++ans; i = j; } } return ans; } }; [/cpp] 本代码提交AC，用时45MS。 这个题可以把每个数对看成一个活动的开始和结束时间，把问题转换为从所有活动中选出尽量多的不重叠的活动，求最多的活动个数。活动选择问题可以用贪心求解，详细介绍和证明请看维基百科。]]>