hihoCoder 1043-完全背包
#1043 : 完全背包
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描述
且说之前的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！
等等，这段故事为何似曾相识？这就要从平行宇宙理论说起了………总而言之，在另一个宇宙中，小Ho面临的问题发生了细微的变化！
小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N种奖品，分别标号为1到N，其中第i种奖品需要need(i)张奖券进行兑换，并且可以兑换无数次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。
提示一： 切，不就是0~1变成了0~K么
提示二：强迫症患者总是会将状态转移方程优化一遍又一遍
提示三：同样不要忘了优化空间哦！
输入
每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的种数，以及小Ho手中的奖券数。
接下来的n行描述每一行描述一种奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。
测试数据保证
对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5
对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3
输出
对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。
样例输入
5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897
样例输出
5940
这一题和之前的
0-1背包很类似，只需要稍微修改一下就可以了。
我们先来复习一下之前的0-1背包。0-1背包对于一件物品，要么兑换，要么不兑换，只有两种可能。假设V[i,j]表示用j张奖券兑换前i个物品，则对于第i个物品，我们只有两种选择：1.兑换；2.不兑换。如果不兑换，则V[i,j]=V[i-1,j]，也就是不要第i件物品，用j张奖券兑换前i-1个物品；如果兑换，则V[i,j]=V[i-1,j-need[i]]+value[i]，也就是一定要第i件物品，所以+value[i]，然后再看兑换完第i件物品后剩余的奖券兑换前i-1个物品能得到多少价值。最后就是求这两种情况的最大值。用数学公式表示就是：
上面是0-1背包的动态规划状态转换方程，详细的代码可以参考上面的链接。对于完全背包，只需稍微修改即可。
我们首先要理解完全背包的含义，完全背包不限制物品的个数，也就是
只要奖券够多，可以兑换多个同一种物品。
但是对于某一个物品，也只有两种情况，要么兑换，要么不兑换，不可以将某一件物品拆分成小部分，只兑换其中的0.x。这个地方容易和
分数背包混淆。分数背包和0-1类似，每一种物品也只有一个，你可以完整的兑换这一个物品，也可以只兑换这个物品的一部分，
但是一种物品只有一个。分数背包可以用贪心算法快速求解，可以参考《算法导论第三版》中文版P243关于0-1背包和分数背包的讨论。
理解了完全背包的含义，我们再来推导其状态转换方程。这个时候对于第i个物品，我们有多种选择：1.不兑换；2.兑换1个；3.多换多个。同样的，我们要从中选一个能使价值最大的方案。如果不兑换，和0-1背包一样，有V[i,j]=V[i-1,j]；但是如果兑换，是不是得一一尝试兑换1个、2个…的所有方案呢？可以这样做，但是还有一个更巧妙的方法，我们先给出公式再解释：
$$!V[i,j] = \begin{cases}0 & \text{if i=0 or j=0}
\V[i-1,j] & \text{if j
0 and j need[i]}\\end{cases}$$
大家仔细对比0-1背包和完全背包的状态转换方程，只改动了一个微小的地方。对于第i个物品，我们如果兑换，则肯定要+value[i]，这是剩下j-need[i]张奖券，因为第i个物品可以兑换多个，所以我们还是用j-need[i]张奖券兑换前i个物品，而不是只兑换前i-1个物品，即V[i,j]=V[i,j-need[i]]+value[i]这样的话，程序自然还会考虑选择第i个物品，也就是兑换多个第i个物品。这就是0-1背包和完全背包的重要区别。
理解了这一点，我们很快就可以写出程序了。代码如下：
[cpp]
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
vector<int> need_vi(n),value_vi(n);
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>need_vi[i]>>value_vi[i];
vector<int> V(m+1,0);//V[j]表示有j张奖券，装前i个奖品获得的最大评分
for(int i=0;i<n;i++)//V[j]表示有j张奖券，装前i个奖品获得的最大评分，每个奖品可以装多个
{
for(int j=need_vi[i];j<=m;j++)//从前往后填表，因为这是完全背包
{
V[j]=(V[j-need_vi[i]]+value_vi[i]>V[j])?(V[j-need_vi[i]]+value_vi[i]):V[j];
}
}
cout<<V[m];
return 0;
}
[/cpp]
具体到写代码时，因为我们正是要利用兑换第i个物品时j=j-need[i]时的值，所以我们从左往右填（从前往后填），这样后面就能利用前面已经修改过的值了。大家可以自己画个表格填一下就知道了，同时请参考联系我之前关于0-1背包的博客。
本代码提交AC，用时148MS，内存0MB。]]>