POJ 1061-青蛙的约会 青蛙的约会 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 92723 Accepted: 17043 Description 两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 Input 输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。 Output 输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible” Sample Input 1 2 3 4 5 Sample Output 4 Source 浙江
本题考察数论的相关知识。假设A,B跳了k次后相遇，则有方程$$(x+km)modL=(y+kn)modL$$成立，即$$(x+km-y-kn)=tL$$，k和t即为我们要求的一组解。 令a=m-n; b=y-x;则上式转换为 $$!ka+tL=b \ \ —————(1)$$ 因为t可正可负，所以这里加号减号都可以。 根据裴蜀定理，要使ka+tL=b有整数解，必须满足b是d的倍数，其中d是a和L的最大公约是，即d=gcd(a,L)。所以我们首先利用欧几里得算法求a,L的最大公约d，判断b是否是d的倍数，如果不是，则直接输出Impossible。 如果b是d的倍数，那么怎样来求解ka+tL=b这个二元一次方程呢？ 将(1)式同时除以d，得到 $$!k(a/d)+t(L/d)=(b/d) \ \ —————(2)$$ (1)式和(2)式的解是完全等价的。 因为d=gcd(a,L),且b是d的倍数，所以a/d, L/d, b/d都是整数，并且gcd(a/d, L/d)=1。所以我们可以先求得 $$!k(a/d)+t(L/d)=gcd(a/d, L/d)=1 \ \ —————(3)$$ 的解，再将解乘以(b/d)不就是式(2)的解了吗，那么怎样求(3)式的解呢，这时候要用到扩展欧几里得算法，维基百科上有具体的演算例子，不懂的可以参考，下图是《算法导论》上关于扩展欧几里得算法算法的描述，也非常清晰易懂：
设利用扩展欧几里得算法求到的式(3)的解为$$k_0$$和$$t_0$$，那么式(2)的解为$$k=(b/d)k_0$$，$$t=(b/d)t_0$$。那么最小的k是多少呢？
又因为根据数论中的相关定理，如果ax+by=m有一组解(x0,y0)，则整个解系为x=x0+ub; y=y0+ua; 其中u为整数，所以对照等式(2)可得k的解系为$$k=(b/d)k_0+u(L/d)$$，它的最小值就是这个解系中的最小正整数。
理清了上述关系后，可以开始写代码了，如下：
[cpp]
#include<stdio.h>
#define LL long long
LL x,y,m,n,L,k0,t0,d;//k0,t0为某一组解，d为最大公因数
//求a,b的最大公因数
LL gcd(LL a,LL b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
//扩展欧几里得算法求ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y)
void extended_euclid(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
}
else
{
extended_euclid(b,a%b,x,y);
LL tmp=x;
x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
}
}
int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
LL a,b;
while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
{
if(m==n)//因为青蛙起点不一样，如果速度一样，肯定不可能相遇
{
printf("Impossible\n");
continue;
}
a=m-n;
b=y-x;
if(a<0)//扩展欧几里得需要非负数
{
a=-a;
b=-b;
}
d=gcd(a,L);
if(b%d!=0)
{
printf("Impossible\n");
continue;
}
a/=d;
L/=d;
b/=d;
extended_euclid(a,L,k0,t0);
k0*=b;
t0*=b;//无需求解，没用到
if(k0>0)
k0=k0%L;
else
k0=k0%L+L;
printf("%lld\n",k0);
}
return 0;
}
[/cpp]
本代码提交AC，用时0MS，内存132K。
因为扩展欧几里得算法包含了欧几里得算法，所以该代码还可以稍微优化一下。
]]>